A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

In this paper, we present a fixed point method for the arctangent based on sine and cosine. Let $t\in {\mathbb{R}}^{+}$ and $P\in \mathbb{N}$. We define: $$T\left(x\right)=x-\sum _{k=1}^P\frac{{(-1)}^{k-1}}{2k-1}{\left(\frac{\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)-t\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)}{\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)+t\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)}\right)}^{2k-1}\mathrm{.}$$ For every initial value $x_0$ sufficiently close to $\arctan \left(t\right)$, the sequence $$x_{n+1}=T\left(x_n\right);n=0,1,\dots$$ is converging to $\arctan \left(t\right)$ with order of convergence exactly $(2P+1)$. The computational test we performed demonstrates the efficiency of the method. \selectlanguage{ngerman} [] $$\mathbf{\text{Zusammenfassung}}$$ In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung des arcustangens auf Basis von sinus und cosinus vor. Es sei $t\in {\mathbb{R}}^{+}$ und $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren: $$T\left(x\right)=x-\sum _{k=1}^P\frac{{(-1)}^{k-1}}{2k-1}{\left(\frac{\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)-t\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)}{\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)+t\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x\right)}\right)}^{2k-1}\mathrm{.}$$ Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $\arctan \left(t\right)$ konvergiert die Folge $$x_{n+1}=T\left(x_n\right);n=0,1,\dots$$ gegen $\arctan \left(t\right)$ mit Konvergenzordnung genau $(2P+1)$. Anhand einer praktischen Berechnung von $\frac{\pi }{4}$ zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. $$\text{Deutsche Version ab Seite 17}$$