Dualité étale à la Poitou-Tate pour les tores sur des variétés définies sur un corps fini

Let $k$ be a global field of characteristic $p>0$. Denote ${\mathrm{\Omega }}_k$ the set of places of $k$ and let $S$ be a non-empty subset of ${\mathrm{\Omega }}_k$. We consider a scheme $\mathcal{X}\to Spec({\mathcal{O}}_S)$ smooth, separated, of finite type and $\mathcal{T}$ a tori defined over $\mathcal{X}$. We study the Tate-Shafarevich group given by the elements of $H^1(\mathcal{X},\mathcal{T})$ which vanish in the group $H^1(\mathcal{X}{\otimes }_{{\mathcal{O}}_S}{k}_v,\mathcal{T})$ for all $v\in S$. We establish a Poitou-Tate duality for $\mathcal{T}$ which generalise the classical Poitou-Tate duality for tori for varieties defined over a finite field of arbitrary dimension. Soit $k$ un corps global de caractéristique $p>0$. Notons ${\mathrm{\Omega }}_k$ l’ensemble des places de $k$ et soit $S$ un sous-ensemble non vide de ${\mathrm{\Omega }}_k$. On considère un schéma $\mathcal{X}\to Spec({\mathcal{O}}_S)$ lisse, séparé, de type fini et $\mathcal{T}$ un tore défini sur $\mathcal{X}$. On étudie le groupe de Tate-Shafarevich donné par les éléments de $H^1(\mathcal{X},\mathcal{T})$ qui s’annulent dans les groupes $H^1(\mathcal{X}{\otimes }_{{\mathcal{O}}_S}{k}_v,\mathcal{T})$ pour tout $v\in S$. On établit une dualité pour $\mathcal{T}$ qui généralise la dualité de Poitou-Tate classique pour les tores à des variétés définies sur un corps fini de dimension arbitraire.