S\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques, $q$-analogues des valeurs de la fonction z\^eta et s\'eries d'Eisenstein

Nous 'etudions la nature arithm'etique de $q$-analogues des valeurs $\zeta (s)$ de la fonction z^eta de Riemann, notamment des valeurs des fonctions ${\zeta }_q(s)={\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^k{\sum }_{d\mid k}^{}{d}^{s-1}$, $s=1,2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$, o{`u} $q$ est un nombre complexe, $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ (ces fonctions sont intimenent li'ees au monde automorphe). Le th'eor`eme principal de cet article montre que, si $1\mathrm{/}q$ est un nombre entier diff'erent de $\pm 1$ et si $M$ est un nombre impair suffisamment grand, alors la dimension de l’espace vectoriel engendr'e sur $\mathbb{Q}$ par $1,\zeta_q(3), \zeta_q(5),…, \zeta_q(M)$estaumoins$c_1\cdot\sqrt{M}$,avec$c_1=0,3358$. Ce r'esultat peut ^etre consid'er'e comme un $q$-analogue du r'esultat de \cite{ri, br}, qui affirme que la dimension de l’espace vectoriel engendr'e sur $\mathbb{Q}$ par $1,\zeta (3),\zeta (5),\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},\zeta (M)$ est au moins $c_2\cdot \log M$, avec $c_2=0,5906$. Pour les m^emes valeurs de $q$, une minoration similaire pour les valeurs ${\zeta }_q(s)$ aux entiers $s$ pairs nous permet de red'emontrer un cas particulier d’un r{'e}sultat de Bertrand \cite{ber} qui affirme la transcendance sur $\mathbb{Q}$ de l’une des deux s'eries d’Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ pour tout nombre complexe $q$ tel que $0<\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$.