Bilinear Eigenfunction Estimates and the Nonlinear Schroedinger Equation on Surfaces

We study the cubic non linear Schr"odinger equation (NLS) on compact surfaces. On the sphere ${\mathbb{S}}^2$ and more generally on Zoll surfaces, we prove that, for $s>1\mathrm{/}4$, NLS is uniformly well-posed in $H^s$, which is sharp on the sphere. The main ingredient in our proof is a sharp bilinear estimate for Laplace spectral projectors on compact surfaces. On 'etudie l’'equation de Schr"odinger non lin'eaire (NLS) sur une surface compacte.Sur la sph`ere ${\mathbb{S}}^2$ et plus g'en'eralement sur toute surface de Zoll, on d'emontre que pour $s>1\mathrm{/}4$, NLS est uniform'ement bien pos'ee dans $H^s$, ce qui est optimalsur la sph`ere. Le principal ingr'edient de notre d'emonstration est une estimation bilin'eaire pour les projecteurs spectraux du laplacien sur une surface compacte.