Theorie De Galois Des Equations Differentielles

Let k be a differential field and C its subfield of constants. In general a differential extension K of k add some new constants to C, and it is difficult to prove that C stay unchangeable under the extension K; This situation is provided by the Picard-Vessiot extension. Kolchin prove the theorem of existence and unicity for these extensions. The aim of this paper is to prove Kolchin theorem and other results, in a simple manner, by means of the theory of models and logic.

Soit k un corps diff'erentiel et C son sous corps des constantes. En g'en'eral une extension diff'erentiel K de k modifie le corps des constantes C de k. Prouver que K ne modifie pas C est un probl`eme assez difficile en alg`ebre diff'erentiel. Les extensions de Picard-Vessiot constitue un exemple de cette situation. Kolchin a montr'e le th'eor`eme d’existence et d’unicit'e, `a isomorphisme pr'es, des extensions de Picard-Vessiot sous la condition que le corps C est alg'ebriquement clos. Dans ce travail on utilise la th'eorie des corps diff'erentiellements clos (Th'eorie des mod`eles), pour montrer l’existence et l’unicit'e, `a isomorphisme pr'es, des extensions de Picard-Vessiot. On calcul ensuite le groupe de Galois diff'erentiel de certaines extensions particuli`ere. Enfin, on montre quelque th'eor`emes g'en'eraux de la th'eorie de Galois diff'erentielle par les m^emes techniques.