A Refinement of the McCreight-Meyer Union Theorem

Using properties of Blum complexity measures and certain complexity class operators, we exhibit a total computable and non-decreasing function $t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}}$ such that for all $k$, ${\mathrm{\Sigma }}_k\mathsf{P}={\mathrm{\Sigma }}_k\mathsf{T}\mathsf{I}\mathsf{M}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, $\mathsf{B}\mathsf{P}\mathsf{P}=\mathsf{B}\mathsf{P}\mathsf{T}\mathsf{I}\mathsf{M}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, $\mathsf{R}\mathsf{P}=\mathsf{R}\mathsf{T}\mathsf{I}\mathsf{M}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, $\mathsf{U}\mathsf{P}=\mathsf{U}\mathsf{T}\mathsf{I}\mathsf{M}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, $\mathsf{P}\mathsf{P}=\mathsf{P}\mathsf{T}\mathsf{I}\mathsf{M}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, ${\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}}_k\mathsf{P}={\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}}_k\mathsf{T}\mathsf{I}\mathsf{M}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, $\mathsf{P}\mathsf{S}\mathsf{P}\mathsf{A}\mathsf{C}\mathsf{E}=\mathsf{D}\mathsf{S}\mathsf{P}\mathsf{A}\mathsf{C}\mathsf{E}(t_{\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{y}})$, and so forth. A similar statement holds for any collection of language classes, provided that each class is definable by applying a certain complexity class operator to some Blum complexity class.