Partial sums of the cotangent function

Nous prouvons l’existence de formules de r'eciprocit'e pour des sommes de la forme ${\sum }_{m=1}^{k-1}f(\frac{m}{k})\cot (\pi \frac{mh}{k})$, o`u $f$ est une fonction $C^1$ par morceaux, qui met en 'evidence un ph'enom`ene d’alternance qui n’appara^it pas dans le cas classique o`u $f(x)=x$. Nous d'eduisons des majorations de ces sommes en termes du d'eveloppement en fraction continue de $h\mathrm{/}k$. We prove the existence of reciprocity formulae for sums of the form ${\sum }_{m=1}^{k-1}f(\frac{m}{k})\cot (\pi \frac{mh}{k})$ where $f$ is a piecewise $C^1$ function, featuring an alternating phenomenon not visible in the classical case where $f(x)=x$. We deduce bounds for these sums in terms of the continued fraction expansion of $h\mathrm{/}k$.