Z\'ero-cycles sur les espaces homog\`enes et probl\`eme de Galois inverse

Let X be a smooth compactification of a homogeneous space of a linear algebraic group G over a number field k. We establish the conjecture of Colliot-Th'el`ene, Sansuc, Kato and Saito on the image of the Chow group of zero-cycles of X in the product of the same groups over all the completions of k. When G is semisimple and simply connected and the geometric stabiliser is finite and supersolvable, we show that rational points of X are dense in the Brauer-Manin set. For finite supersolvable groups, in particular for finite nilpotent groups, this yields a new proof of Shafarevich’s theorem on the inverse Galois problem, and solves, at the same time, Grunwald’s problem, for these groups.

Soit X une compactification lisse d’un espace homog`ene d’un groupe alg'ebrique lin'eaire G sur un corps de nombres k. Nous 'etablissons la conjecture de Colliot-Th'el`ene, Sansuc, Kato et Saito sur l’image du groupe de Chow des z'ero-cycles de X dans le produit des m^emes groupes sur tous les compl'et'es de k. Lorsque G est semi-simple et simplement connexe et que le stabilisateur g'eom'etrique est fini et hyper-r'esoluble, nous montrons que les points rationnels de X sont denses dans l’ensemble de Brauer-Manin. Pour les groupes finis hyper-r'esolubles, en particulier pour les groupes finis nilpotents, cela donne une nouvelle preuve du th'eor`eme de Shafarevich sur le probl`eme de Galois inverse et r'esout en m^eme temps, pour ces groupes, le probl`eme de Grunwald.