L'espace ad\'elique d'un tore sur un corps de fonctions

Let $k$ be a field of characteristic 0 and let $K$ be the function field of a smooth projective geometrically integral $k$-curve $X$. Let $T$ be a $K$-torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points $T(S,{\mathbb{A}}_K)$ of $T$ outside a finite set $S$ of closed points of $X$. We start by proving that the group $T(K)$ of rational points of $T$ is always discrete (hence closed) in $T(S,{\mathbb{A}}_K)$. We then describe the quotient $T(\mathrm{\varnothing },{\mathbb{A}}_K)\mathrm{/}T(K)$ in each of the following three cases: $k$ is an algebraically closed field, $k$ is the field of Laurent series $\mathbb{C}((t))$, and $k$ is a $p$-adic field. Soient $k$ un corps de caract'eristique 0 et $K$ le corps des fonctions d’une $k$-courbe projective lisse g'eom'etriquement int`egre $X$. Soit $T$ un $K$-tore. Dans cet article, on cherche `a 'etudier l’espace des points ad'eliques $T(S,{\mathbb{A}}_K)$ de $T$ hors d’un ensemble fini $S$ de points ferm'es de $X$. On commence par montrer que le groupe $T(K)$ des points rationnels de $T$ est toujours ferm'e discret dans $T(S,{\mathbb{A}}_K)$. On d'ecrit ensuite le quotient $T(\mathrm{\varnothing },{\mathbb{A}}_K)\mathrm{/}T(K)$ dans chacun des trois cas suivants: $k$ corps alg'ebriquement clos, $k=\mathbb{C}((t))$ et $k$ corps $p$-adique.