L'\'equation diophantienne $a{x}^2-b{y}^2=1$

On propose une m'ethode de r'esolution effective de l’'equation diophantienne $(E_2):a{x}^2-b{y}^2=1$ o`u $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Cette m'ethode s’appuie sur le d'eveloppement en fraction continu'ee de certains nombres irrationnels quadratiques que l’on d'ecrit compl`etement. On commence par utiliser ces d'eveloppements pour r'esoudre certaines 'equations de Pell-Fermat g'en'eralis'ees avant d’appliquer `a l’'equation $(E_2)$ les r'esultats obtenus.