A root finding method with arbitrary order of convergence

Let $a\in {\mathbb{R}}^{+}\mathrm{\backslash }\left\{0\right\}$ and $M\in \mathbb{N}$. We consider the equation $t^M-a=0$, which is equivalent to $1-\frac{t^M}{a}=0\mathrm{.}$ The real solution is $\sqrt[M]{a}$. In this publication, we present a method that enables the calculation of $\sqrt[M]{a}$ with arbitrary order of convergence using only polynomials. We define the fixed point function $$F\left(x\right)=\prod _{\mathrm{\ell }=1}^P(1+\frac{1}{\mathrm{\ell }\cdot M})\underset{0}{\overset{x}{\int }}\text{\hspace{0.17em}⁣}{(1-\frac{t^M}{a})}^P\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^P\frac{{(-1)}^k}{a^k}\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{P}{k}\right)\cdot \frac{x^{k\cdot M+1}}{k\cdot M+1}$$ This is a polynomial of degree $(P\cdot M+1)$ with $(P+1)$ terms. The calculation of $\sqrt[M]{a}$ is thus reduced to a polynomial evaluation. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. – Es sei $a\in {\mathbb{R}}^{+}\mathrm{\backslash }\left\{0\right\}$ und $M\in \mathbb{N}$. Vorgelegt ist die Gleichung $t^M-a=0$, die äquivalent zu $1-\frac{t^M}{a}=0$ ist. Die reelle Lösung hiervon ist $\sqrt[M]{a}$. In dieser Veröffentlichung stellen wir ein Verfahren vor, das die Berechnung von $\sqrt[M]{a}$ mit beliebiger Konvergenzordnung ermöglicht und nur Polynome verwendet. Wir definieren die Fixpunktfunktion $$F\left(x\right)=\prod _{\mathrm{\ell }=1}^P(1+\frac{1}{\mathrm{\ell }\cdot M})\underset{0}{\overset{x}{\int }}\text{\hspace{0.17em}⁣}{(1-\frac{t^M}{a})}^P\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^P\frac{{(-1)}^k}{a^k}\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{P}{k}\right)\cdot \frac{x^{k\cdot M+1}}{k\cdot M+1}$$ Das ist ein Polynom vom Grad $(P\cdot M+1)$ mit $(P+1)$ Summanden. Anhand ausgewählter Beispiele von Wurzelberechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens.