Vari\'et\'es ab\'eliennes sur les corps de fonctions de courbes sur des corps locaux sup\'erieurs

Let $k$ be a higher-dimensional local field and $X$ be a smooth projective geometrically integral curve over $k$. Let $K$ be the function field of $X$. We define Tate-Shafarevich groups of an abelian variety via cohomology classes locally trivial at each completion of $K$ coming from a closed point of $X$. We prove local duality theorems for abelian varieties over $k$, as well as global duality theorems for Tate-Shafarevich groups of abelian varieties over $K$. Soient $k$ un corps local sup'erieur et $X$ une courbe projective lisse g'eom'etriquement int`egre de corps de fonctions $K$. On d'efinit les groupes de Tate-Shafarevich d’une vari'et'e ab'elienne en consid'erant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque compl'et'e de $K$ provenant d’un point ferm'e de $X$. On 'etablit des th'eor`emes de dualit'e locale pour les vari'et'es ab'eliennes sur $k$, ainsi que des th'eor`emes de dualit'e globale pour les groupes de Tate-Shafarevich des vari'et'es ab'eliennes sur $K$.