Sur la cat\'egorie d\'eriv\'ee des faisceaux tordus

Soit $X$ un sch'ema quasi-compact et s'epar'e et soit $\alpha\in \check{C}^2(X, \mathcal O_X^)$ un cocycle de C\v{e}ch. Nous consid'erons la cat'egorie d'eriv'ee $D(QCoh(X,\alpha ))$ des faisceaux quasi-coh'erents sur $X$ tordu par $\alpha$. Soit $\mathrm{\Delta }(X,\alpha )$ la plus petite sous-cat'egorie triangul'ee de $D(QCoh(X,\alpha ))$ contenant tous les objets $u_\mathcal F^\bullet$,o\grave{u}$u:U\longrightarrow X$estuneimmersionouverteavec$U$affineet$\mathcal F^\bullet\in D(QCoh(U,u^*(\alpha)))$. Alors, le but de cet article est de montrer que $\mathrm{\Delta }(X,\alpha )=D(QCoh(X,\alpha ))$.

Let $X$ be a quasi-compact and separated scheme and let $\alpha\in \check{C}^2(X, \mathcal O_X^)$ be a C\v{e}ch cocycle. We consider the derived category $D(QCoh(X,\alpha ))$ of quasi-coherent sheaves on $X$ twisted by $\alpha$. Let $\mathrm{\Delta }(X,\alpha )$ be the smallest triangulated subcategory of $D(QCoh(X,\alpha ))$ containing all the objects $u_{\ast }{\mathcal{F}}^{\bullet }$, where $u:U⟶X$ is an open immersion with $U$ affine and $\mathcal F^\bullet\in D(QCoh(U,u^(\alpha)))$. Then, the purpose of this article is to show that $\mathrm{\Delta }(X,\alpha )=D(QCoh(X,\alpha ))$.