Th\'eor\`emes de dualit\'e pour les corps de fonctions sur des corps locaux sup\'erieurs et applications arithm\'etiques

Let $K$ be the function field of a smooth projective curve $X$ over a higher-dimensional local field $k$. We define Tate-Shafarevich groups of a commutative group scheme via cohomology classes locally trivial at each completion of $K$ coming from a closed point of $X$. We establish duality theorems between Tate-Shafarevich groups for finite groups schemes, for tori, for groups of multiplicative type, and even for 2-term complexes of tori. We apply these results to the weak approximation for tori over $K$ and to the study of the obstruction to the local-global principle for $K$-torsors under a connected linear algebraic group. We also give examples and counter-examples to the local-global principle for central simple algebras over $K$. Soit $K$ le corps des fonctions d’une courbe projective lisse X sur un corps local sup'erieur $k$. On d'efinit les groupes de Tate-Shafarevich d’un sch'ema en groupes commutatif en consid'erant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque compl'et'e de $K$ provenant d’un point ferm'e de $X$. On 'etablit des th'eor`emes de dualit'e arithm'etique entre des groupes de Tate-Shafarevich pour les modules finis, pour les tores, pour les groupes de type multiplicatif, et m^eme pour les complexes `a deux termes de tores. On applique ces r'esultats `a l’approximation faible pour les tores sur $K$ et `a l’'etude du principe local-global pour les $K$-torseurs sous un groupe lin'eaire connexe. On exhibe aussi des exemples et des contre-exemples au principe local-global pour les alg`ebres simples centrales sur $K$.