Dualit\'e et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de C((t))

Pour $K$ un corps global (corps de nombres ou corps de fonctions d’une variable sur un corps fini $F$), on dispose de th'eor`emes de dualit'e classiques (Tate, Poitou, Nakayama) pour la cohomologie galoisienne `a valeurs dans des tores et des modules ab'eliens finis. Nous 'etablissons de tels th'eor`emes pour $K$ le corps des fonctions d’une courbe projective et lisse sur le corps $F=\mathbf{C}((t))$ des s'eries formelles en une variable sur le corps des complexes. Cela permet de contr^oler le d'efaut du principe de Hasse et l’approximation faible pour les espaces homog`enes sous un tore. Il y a ici des diff'erences avec le cas classique ($K$ corps global), et aussi avec le cas r'ecemment 'etudi'e o`u $K$ est un corps de fonctions d’une variable sur un corps $p$-adique. Par exemple, la $K$-rationalit'e d’un tore n’implique pas ici la validit'e du principe de Hasse pour ses espaces principaux homog`enes.

Over a global field $K$ (number field, or function field of a curve over a finite field $F$), arithmetic duality theorems for the Galois cohomology of tori and finite Galois modules have long been known. More recent work investigates the case where $K$ is the function fields of of a curve over a $p$-adic field. For $K$ the function field of a curve over the formal series field $F={\bf C}((t))$, we establish analogous duality theorems. We thus control the obstruction to the local-global principle and to weak approximation for homogeneous spaces of tori. There are differences with the afore described cases. For example the Hasse principle need not hold for principal homogeneous spaces of a $K$-rational torus.