Approximation faible et principe de Hasse pour des espaces homog\`enes \`a stabilisateur fini r\'esoluble (Weak Approximation and Hasse Principle for homogeneous spaces with finite solvable stabilizer)

Soit $K$ un corps global et $G$ un $K$-groupe fini r'esoluble. Sous certaines hypoth`eses sur une extension d'eployant $G$, on d'emontre que l’espace homog`ene $V:=G^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}G$ avec $G^{\mathrm{\prime }}$ un $K$-groupe semi-simple simplement connexe v'erifie l’approximation faible. On utilise une version plus pr'ecise de ce r'esultat pour d'emontrer le principe de Hasse pour des espaces homog`enes $X$ sous un $K$-groupe $G^{\mathrm{\prime }}$ semi-simple simplement connexe `a stabilisateur g'eom'etrique $\bar{G}$ fini et r'esoluble, sous certaines hypoth`eses sur le $K$-lien $(\bar{G},\kappa )$ d'efini par $X$.

Let $K$ be a global field and $G$ a finite solvable $K$-group. Under certain hypotheses concerning the extension splitting $G$, we show that the homogeneous space $V=G^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}G$ with $G^{\mathrm{\prime }}$ a semi-simple simply connected $K$-group has weak approximation. We use a more precise version of this result to prove the Hasse principle for homogeneous spaces $X$ under a semi-simple simply connected $K$-group $G^{\mathrm{\prime }}$ with finite solvable geometric stabilizer $\bar{G}$, under certain hypotheses concerning the $K$-kernel (or $K$-lien) $(\bar{G},\kappa )$ defined by $X$.