La conjecture de Casas Alvero pour les degr\'es $5p^e$

According to Casas Alvero conjecture, if a one variable polynomial of degree $n$ over a field of characteristic 0 is not prime with each of the $n-1$ first derivees, then it is of the form $c(X-r{)}^n$. Let $p$ be a prime number and an integer $e$, the conjecture is showed to be true for polynomials of degree $p^e,2p^e,3p^e(pneq2)and4p^e(pneq3,5,7)$. In this work we show that the conjecture is true for polynomials of degree $5p^{e} (p neq 2,3,7,11,131,193,599,3541,8009) $ . It also corrects an error in Draisma and Jong (2011) for the polynomials of degree $4p^e$ ----- Selon la conjecture de Casas Alvero, si un polyn^{o}me '{a} une variable de degr'{e} $n$ sur un corps commutatif de caract'{e}ristique 0 est non premier avec chacune de ses $n-1$ premi'{e}res d'{e}riv'{e}s, alors il est de forme $c(X-r{)}^n$. Soient $p$ un nombre premier et $e$ un entier, la conjecture a '{e}t'{e} d'{e}montr'{e}e pour les polyn^{o}mes de degr'{e} $p^{e},2p^{e}, 3p^{e} (p\neq 2) et 4p^{e} (p\neq 3,5,7)$. Dans ce travail on montre que la conjecture est vrai pour les polyn^{o}mes de degr'{e} $5p^{e} (p\neq 2,3,7,11,131,193,599,3541,8009)$. On corrige aussi une erreur dans Draisma et Jong (2011) pour les degr'{e} $4p^e$