Fractions de Bernoulli-Carlitz et op\'erateurs q-Zeta

We introduce a q-deformation of Dirichlet series : for each s, an operator acting on formal power series in q without constant term. We relate Bernoulli-Carlitz numbers to the q-Riemann Zeta operators for negative integers, evaluated on some polynomials.

On introduit une d'eformation des s'eries de Dirichlet d’une variable complexe s, sous la forme d’un op'erateur pour chaque nombre complexe s, agissant sur les s'eries formelles en une variable q sans terme constant. On montre que les fractions de Bernoulli-Carlitz sont les images de certains polyn^omes en q par les op'erateurs associ'es `a la fonction ? de Riemann aux entiers n'egatifs.