Un probl\`eme de type Yamabe sur les vari\'et\'es compactes spinorielles compactes

Let $(M,g,\text{si})$ be a compact spin manifold of dimension $n\ge 2$. Let ${\lambda }_1^{+}(\tilde{g})$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator in the metric $\tilde{g}\in [g]$ conformal to $g$. We then define $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} \lambda_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $\mathrm{.}Weshowthat$0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$\mathrm{.}$ . We find sufficient conditions for which we obtain strict inequality $\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$. This strict inequality has applications to conformal spin geometry.

Soit $(M,g,\text{si})$ une vari'et'e spinorielle compacte de dimension $n \geq 2$\mathrm{.}$\tilde{g} \in [g]$estunem\acute{e}triqueconforme\grave{a}$g$,Onnote$\lambda_1^+(\tilde{g})$lapluspetitevaleurpropre$>0$ de l’op'erateur de Dirac dans la m'etrique $\tilde{g}\in [g]$ conforme `a $g$. On d'efinit $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} \lambda_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $\mathrm{.}Onmontreque$0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$\mathrm{.}$ On trouve des conditions suffisantes pour lesquelles on obtient l’in'egalit'e stricte $\text{lamin}(M,[g],\text{si})<\text{lamin}({\text{mS}}^n)$. Cette in'egalit'e stricte a des applications en g'eom'etrie spinorielle conforme.