A very ample lattice polytope with a non-unimodal $h^{\ast }$-vector

本文构造了一个维数为58的格多面体 $Q\times Q$，它是Lasoń与Michałek所构造的31维格多面体 $Q=P_{15,332}$ 的笛卡尔平方。该多面体具有3600个顶点，是“非常充裕”（very ample）但不满足整数分解性质（IDP）的格多面体。其核心突破在于：其 $h^{\ast }$-向量非单峰（non-unimodal），具体表现为 $h_{25}^{\ast }>h_{26}^{\ast }<h_{27}^{\ast }$，即在中间位置出现局部极小值，从而严格违反单峰性定义。这一反例直接回答了Ferroni与Higashitani提出的公开问题（[4, Question 3.9]），也回应了Balletti关于笛卡尔积下 $h^{\ast }$-向量单峰性的相关疑问（[1, Question 5.1(b)]）。值得注意的是，该例子并非通过传统代数或组合构造获得，而是借助ChatGPT 5.6 Sol辅助发现，体现了人工智能在探索离散几何反例中的潜力。研究进一步表明，$Q=P_{15,a}$ 在 $a=332,\dots ,338$ 范围内均产生非单峰 $h^{\ast }$-向量，且 $Q$ 是该构造中维数与体积最小的基例。尽管IDP格多面体是否恒具单峰 $h^{\ast }$-向量仍是Ehrhart理论中最著名的未解决问题（Conjecture 1.1），本工作明确表明：将IDP条件弱化为“非常充裕”后，单峰性不再成立。