A note on the partial sum of bounded Dirichlet series

本文研究Hardy空间 $H^{\mathrm{\infty }}$ 上Dirichlet级数的部分和算子 $S_N$ 的算子范数渐近行为。该空间由所有在右半平面 $\{s\in \mathbb{C}:\mathrm{\Re }s>0\}$ 上有界全纯且具有Dirichlet级数表示的函数构成，其范数定义为上确界模。已知Balasubramanian–Calado–Queffélec证明了 $\mathrm{\parallel }{S}_N{\mathrm{\parallel }}_{H^{\mathrm{\infty }}\to H^{\mathrm{\infty }}}\lesssim \log N$，但其下界长期未被精确刻画。本文通过构造一类具有双曲结构的Dirichlet多项式，并将其与离散Hilbert变换矩阵的上三角截断相联系，建立了关键的下界估计：
$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\hspace{0.17em}inf}}\frac{\mathrm{\parallel }{S}_N{\mathrm{\parallel }}_{H^{\mathrm{\infty }}\to H^{\mathrm{\infty }}}}{\log N}\ge \frac{1}{2\pi }\mathrm{.}$$
结合已有上界，该结果确认 $\mathrm{\parallel }{S}_N{\mathrm{\parallel }}_{H^{\mathrm{\infty }}\to H^{\mathrm{\infty }}}$ 的增长阶为精确的对数阶 $\asymp \log N$，从而完全解决了该算子范数的渐近量级问题。技术上，证明避免了依赖素数分布深结果（如Baker–Harman–Pintz定理），仅使用初等数论与矩阵分析工具，特别是将部分和作用于特定测试函数转化为 ${\mathrm{\ell }}_d^{\mathrm{\infty }}\to {\mathrm{\ell }}_d^1$ 算子范数的估计，并借助调和分析中Hilbert矩阵的经典界完成控制。这一方法也为Dirichlet级数空间中其他投影算子的研究提供了新思路。