An equidistribution conjecture for quotient-closed and submodule-closed subcategories

本文研究有限维代数模范畴中关于商模封闭或子模封闭的子范畴的组合结构，提出并验证了“商模–子模等分布猜想”：对表示有限代数 $A$，其大小为 $i$（即包含 $i$ 个非同构不可分解模）的商模封闭子范畴数目恒等于子模封闭子范畴数目，对所有 $i$ 成立。该猜想在多种重要情形下得到证明：（1）当 $A$ 至多含九个不可分解模时，通过验证极小与极大尺寸（$i\le 4$ 及余尺寸 $\mathrm{\mid }\mathrm{ind}A\mathrm{\mid }-i\le 4$）成立；（2）对Nakayama代数，利用链积结构与 $q$-整数乘积公式，显式计算并确认两族生成多项式一致；（3）对根平方为零的代数，借助分离箭图的Weyl群Poincaré多项式，导出统一闭式表达；（4）对表示定向代数，建立Auslander–Reiten箭图上 $\tau$-轨道构成的单重Coxeter图 ${\mathrm{\Delta }}_A$，构造对应Auslander–Reiten词 $w_A$，证明商模封闭子范畴一一对应于下Bruhat区间 $[1,w_A]$ 中元素，并由此得出大小生成多项式即为该区间Poincaré多项式的次数反转，从而确立等分布性。此外，论文揭示商模闭包满足反交换性，赋予不可分解模集以有限凸几何结构，进而将商模/子模封闭子范畴刻画为相应凸几何的闭集；并基于分裂投射模与Gen-极小模，完全分类函子有限的商模封闭子范畴。结果统一推广了Dynkin型代数中Oppermann–Reiten–Thomas的经典分类，为表示论中的闭包结构提供了新的组合与几何视角。