Gradient growth and relaxation to jump profiles for 3-fold symmetric scale-invariant Euler flows

本文研究二维不可压欧拉方程在三重旋转对称（$m=3$）下的零次齐次尺度不变解的长时间行为，填补了Said–Elgindi–Murray关于$m\ge 4$情形的松弛理论中$m=3$这一关键未解情形。针对角向轮廓$g(t,\theta )$满足的简化方程$g_t+2G{g}_{\theta }=0$，其中$({\mathrm{\partial }}_{\theta }^2+4)G=g$，证明了任意非常数$W^{1,p}$初值（$1<p\le \mathrm{\infty }$）均导致角向导数范数$\mathrm{\parallel }{g}_{\theta }(t){\mathrm{\parallel }}_{L^p}$在正负无穷时间方向上趋于无穷，即存在双向梯度爆炸；当$p=1$时总变差守恒，但$L\log L$模在初值有限时仍发散。进一步，在初值角向导数$D_{\theta }{g}_0$可分解为有限个同号非原子测度分量与原子点质量之和的结构假设下（该条件自动满足于$C^1$初值），证明其两个$\omega$-极限集中的任意极限剖面必为跳跃函数（jump profile），且半轨线在Slobodeckij空间$W^{\alpha ,r}$（$\alpha r<1$）中趋近相应极限集。此外，任一弱$L^2$意义下的无穷时间极限均可延拓为一个完整的、在$L^2$中预紧的轨道。该工作完整回答了Drivas–Elgindi综述中提出的Problem 5，确立了$m=3$情形下小尺度生成与紧轨道收敛的双重机制，并与$m\ge 4$结果共同构成对所有$m\ge 3$光滑非平凡尺度不变解的统一刻画。